Kāds ir lielākais naturālais skaitlis, kuram varat atrast pielietojumu dabā?

Pēdējā laikā mani neliek mierā lieli naturāli skaitļi..

Kā tad īsti ir – lieli naturāli skaitļi eksistē vai neeksistē? Protams, visi esam mācījušies pirmās pakāpes aritmētiku un naturālo skaitļu definīciju tajā, līdz ar ko mūsu smadzenes ir `iegrozītas` šādā domāšanā un pieņemt citu skatu uz naturālajiem skaitļiem varētu būt problemātiski. Tātad, kā nu tur bija – naturālos skaitļus pirmās pakāpes aritmētikā varam definēt kā šādus objektus:
  – 0 ir naturāls skaitlis:
  – ja x ir naturāls skaitlis un s ir funkcija, kas definēta visiem naturāliem skaitļiem, tad arī s(x) ir naturāls skaitlis

Protams, vēl jāpiemin, ka funkcijai s nevajadzētu veidot ciklus utt., bet tas šajā gadījumā varētu nebūt tik svarīgi. Tātad iegūstam naturālo skaitļu virknīti:
  0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))), …

Ja mums patīk, varam apzīmēt funkcijas s rezultātus ar citiem simboliem, iegūstot naturālo skaitļu virkni mums pazīstamākā pierakstā:
  0, 1, 2, 3, …

Tik tālu būtu labi. Bet gribot negribot rodas jautājums – cik tālu šī virkne sniedzas? Parastā atbilde, protams, būtu – līdz bezgalībai. Protams, teorētiskajā matemātikā tas tā arī ir un varam domāt, ka tas nekādas pretrunas nerada. Tomēr nākas aizdomāties – ko nozīmē izteiciens, ka kāds konkrēts naturāls skaitlis `eksistē`? Pavisam noteikti mums ir saprotams, ka, piemēram, naturālais skaitlis 4 eksistē – kaut vai tādēļ vien, ka mēs to varam pierakstīt: s(s(s(s(0)))). Skaidrs, ka eksistē arī skaitlis 17, jo arī to varam pierakstīt (septiņpadsmit reizes pielietojot funkciju s – vispirms naturālajam skaitlim 0 un tad iegūtajiem rezultātiem). Tāpat vēl varētu mēģināt saprast, ka eksistē skaitlis 10^10 (ja saprotam, ko nozīmē kāpināšanas operācija), jo arī to, ilgi un dikti cenšoties, mēs varam pierakstīt (pieņemot, ka nebeidzas ne papīrs, ne tinte, ne arī pacietība, jo, rakstot ar ātrumu `viens funkcijas s pielietojums sekundē` šim procesam nāksies veltīt vairāk nekā 317 gadus..).

Bet kā, piemēram, atbildēt uz jautājumu, vai eksistē tāds naturālais skaitlis, kuru mēs `it kā` varētu iedomāties kā skaitļa 10 kāpinājumu divsimtajā pakāpē? Tas pavisam noteikti daudzkārt pārsniedz atomu skaitu Visumā.. Ko šādam skaitlim nozīmētu `eksistēt`..? Pilnīgi skaidrs, ka pierakstīt mēs to nevaram, pat ne tīri teorētiski par katru funkcijas s pielietojumu ņemot vienu atomu no Visuma.. Otrs eksistences pārbaudīšanas veids būtu atrasts kaut ko tādu dabā, kura raksturošanai šāds skaitlis ir nepieciešams. Skaidrs, ka tas nebūs ne koku skaits mežā ne atomu skaits Visumā.

Tātad manā teorijā par naturāla skaitļa eksistēšanu rodas jautājums – kāds ir lielākais naturālais skaitlis (vismaz aptuveni), kuram mēs varam izdomāt kaut cik jēdzīgu pielietojumu dabā?

Mans piedāvājums pietiekami lielam naturālam skaitlim, kurš noteikti `eksistē` ir šāds: dažādo iespējamo Visuma fotogrāfiju skaits! Mēs varam iedomāties, ka eksistē aparatūra kas ļauj mums nofotografēt Visumu, ar to saprotot visu Visumā esošo atomu koordinātu fiksēšanu noteiktā laika momentā. Ja citā fotogrāfijā vismaz viens no atomiem atrodas citā koordināšu punktā, tā uzskatāma par citu fotogrāfiju. Protams, viegli secināt, ka patiesībā iespējamo fotogrāfiju skaits iznāktu bezgalīgs pat pie nosacījuma, ja visi atomi, izņemot vienu būtu fiksēti, jo katrs no atomiem potenciāli var atrasties kādā no bezgalīgi daudz punktiem.. Tā kā šis fotogrāfiju skaita novērtējums – bezgalība – mums ir stipri par lielu, ierobežosim nosacījumus:
  – ja attālums starp diviem koordināšu punktiem ir mazāks par atoma diametru, uzskatīsim abus šos punktus par vienu punktu (tādējādi nepārtrauktu reālu koordināšu asu vietā ņemam asis ar diskrētām vērtībām)
  – uzskatīsim, ka katrs atoms var potenciāli atrasties jebkurā Visuma vietā
  – ignorēsim faktu, ka Visumā ir apgabali bez atomiem

Tātad galvenais jautājums – cik daudz dažādu Visuma fotogrāfiju pie šādiem nosacījumiem varam iegūt?

Ja zinām, ka Visuma vecums ir aptuveni 13.7 miljardi gadu un pieņemam, ka kopš Lielā Sprādziena Visums ar gaismas ātrumu ir izpleties no centra uz visām pusēm vienādi (kas gan tā, protams, nav, jo pašas telpas izplešanos mēs nevaram tā tik vienkārši salīdzināt ar gaismas pārvietošanās ātrumu), tad varam izrēķināt Visuma aptuveno rādiusu – 1.297 * 10^17 metri jeb 1.297 * 10^27 atoma kodoli. Tālāk varam izrēķināt atomu skaitu visumā (pie dotajiem pieņēmumiem). Tā kā lodes tilpumu var atrast pēc formulas V = 4 * Pi * R^3 / 3, tad atomu skaits visumā aptuveni vienāds ar 10^82. Visai ievērojams skaitlis, kas ar prātu grūti aptverams.. Tātad Visumā ir 10^82 atomi un katrā no fotogrāfijām katrs no šiem atomiem var potenciāli atrasties 10^82 vietās. Tā kā divi atomi vienlaicīgi nevar atrasties vienā vietā, tad dažādo iespējamo fotogrāfiju skaits ir vienāds ar permutāciju skaitu 10^82 elementiem jeb ar skaitļa 10^82 faktoriālu*.. Ja pats skaitlis 10^82 jau bija grūti aptverams, tad var droši teikt, ka (10^82)! pavisam noteikti ar prātu vairs nav aptverams 😉 Tomēr saskaņā ar manis izvirzīto teoriju šādam skaitlim `vajadzētu eksistēt`, ja jau dabā varam atrast tam pielietojumu.

Cik ciparu skaitlis tad ir (10^82)!..? Tā kā visiem n, kas lielāki par 5, izpildās sakarība n! > (n/3)^n, tad:
(10^82)! > ((10^82)/3)^(10^82) > (3 * 10^81)^(10^82) = 3 ^ (10^82) * 10 ^ (81 * 10^82) > 10 ^ (10^84), kas ir skaitlis ar 10^85 cipariem.. Protams, nav nekādu cerību uzrakstīt skaitli, kas satur 10^85 ciparus, ja atceramies, ka atomu skaits visumā saturēja vien nieka 82 ciparus..

Laikam vēl varam krietni palielināt lielākā `eksistējošā` naturālā skaitļa robežu, ja papildus fotogrāfijām gribam ņemt vērā arī visu atomu momentānos ātrumus..

Komentāros varat droši ieteikt vēl kādas idejas, kur dabā varam kaut cik normālā veidā sastapties ar šādiem ārkārtīgi lieliem naturāliem skaitļiem!

—

* Par vesela pozitīva skaitļa n faktoriālu (apzīmē ar n!) sauc visu veselo pozitīvo skaitļu no 1 līdz n reizinājumu.